Mes activités de recherches sont essentiellement orientées vers l'Analyse Fonctionnelle,  les Equations aux Dérivées Partielles et l'Analyse Numérique des EDP. Plus précisément, mes travaux portent sur l'étude de problèmes aux limites posés sur des domaines non réguliers (ouverts à singularités coniques, réseaux, multi-structures, etc.....); ainsi que leurs applications à l'Analyse Numérique
(raffinement de maillages, SFM, etc....), à la théorie spectrale et à des problèmes de contrôle.

Les différents thèmes  développés  actuellement sont les suivants :

 1. Analyse Numérique de problèmes aux  limites ou d'équations intégrales de bord posés dans des polygones ou des polyèdres.

 Le comportement singulier de la solution impose l'utilisation de méthodes d'éléments finis adaptées pour restaurer l'ordre optimal de convergence (i.e. comme si l'ouvert était régulier). Les méthodes les plus utilisées sont le raffinement de maillage et la méthode  des fonctions singulières (SFM) qui consiste à ajouter les fonctions singulières à l'espace approchant. Ces travaux sont   développés en collaboration avec M. Bourlard (Valenciennes), L. Paquet (Valenciennes), M. Dauge (Rennes), J. Lubuma (Vista) et T.Apel (Chemnitz). Les méthodes d'éléments finis mixtes  conformes ou non pour l'étude des problèmes de Stokes, Navier-Stokes et de Boussinesq sont en cours d'étude (sujet de thèse de H. El Bouzid et collaboration avec L. Paquet, M. Farhloul (Moncton), J. Schöberl (Linz) et T. Apel (Chemnitz)). La  méthode d'éléments finis d'arête (de Nédélec) raffinée pour les équations  de Maxwell homogènes en présence de singularité d'arête vient d'être mise en oeuvre.

 2. Equations  non linéaires.

 Ce thème développé en collaboration avec F. Ali Mehmeti, J. von Below (Littoral) et A.-M. Sändig (Stuttgart) est celui de l'existence et de la régularité des solutions d'équations non linéaires sur des domaines non-réguliers, des réseaux ou des multi-structures  (modèles de ponts métalliques, plaques pliées, etc....). Comme précédemment, le comportement singulier des solutions des problèmes stationnaires associés influence les résultats d'existence. Les outils utilisés sont l'Analyse convexe  (Théorème de Minty) ou des théorèmes de point fixe (notamment la théorie de Kato).

 3. Problèmes de transmission 2-d. ou 3-d.

 L'étude de ces problèmes a été intensifiée dans les différentes directions suivantes. Avec A.M. Sändig (Stuttgart), nous avons introduit  des problèmes généraux d'ordre $2m$ pour des ouverts à singularités coniques et obtenu des résultats usuels de  décomposition en parties régulière et singulière; des résultats numériques concernant la localisation des exposants  singuliers ont également été donnés. La résolution de ces problèmes par équations intégrales dans des polyèdres a fait l'objet d'un travail récent. Dans des domaines axisymétriques, B. Heinrich, B. Weber (Chemnitz) et moi-même avons donné des décompositions non-tensorielles, en vue de l'application à des méthodes d' éléments finis couplés avec série de Fourier
(selon la variable axialle). En collaboration avec M. Costabel et M. Dauge (Rennes), les singularités du système de Maxwell dans des milieux non-homogènes non-réguliers ont été dégagées et le lien avec les singularités de certains  problèmes de transmission établi.

4. Contrôle sur des domaines non-réguliers.

 La méthode HUM de J.-L. Lions pour établir   la contrôlabilité exacte de systèmes gouvernés par des équations  aux dérivées partielles semble bien adaptée aux ouverts réguliers  (cf. les travaux  de J.-L. Lions).  P. Grisvard, M. Moussaoui et M.T. Niane l'ont  adaptée  à certains problèmes aux limites posés sur des polygones ou  des polyèdres. Pour des problèmes couplés 3-d./2-d., utilisant des résultats spécifiques, nous avons pu établir la contrôlabilité exacte du système considéré. Plus récemment, pour éviter des conditions géométriques très restrictives, pour des problèmes hyperboliques posés sur des réseaux 2-d., nous avons proposé deux nouvelles méthodes: l'une consiste à ajouter à l'espace des contrôles les coefficients des singularités (à rapprocher de la SFM). Ceci conduit à la  contrôlabilité exacte par contrôle frontière mais avec un contrôle interne distributionnel de support concentré aux sommets singuliers. L'autre méthode consiste à agir par un contrôle frontière classique dont le support est loin des points singuliers et à ajouter des contrôles internes localisés près de ces points singuliers. Le contrôle du système de Maxwell dans des milieux non-homogènes non-réguliers de l'espace a été établi sous certaines conditions géométriques en adaptant des résultats antérieurs de J. Lagnese.
 

5. Etude de problèmes aux
limites sur des réseaux 1-d.

 Ici, nous étendons  des résultats obtenus précédemment par F. Ali Mehmeti, J. v. Below et Lagnese-Leugering-Schmidt. Le premier travail en collaboration avec D. Mercier (thèse 1998) concerne l'étude de systèmes généraux: l'existence, la régularité et l'approximation par préondelettes  des solutions sont traités tant pour les problèmes elliptiques, paraboliques que hyperboliques. Le deuxième travail développé avec B. Dekoninck (thèse 1998) porte sur l'étude spectrale et le contrôle de réseaux de poutres. Avec O. Penkin (Voronezh), nous analysons le comportement du spectre basse fréquence d'une suite de réseaux de poutres qui à la limite recouvre une plaque.

6. Ondelettes et équations intègrales.

Un des gros inconvénients de l'utilisation de la méthode des éléments finis de bord est que la matrice de rigidité obtenue est pleine. W. Dahmen  et R. Schneider et d'autres auteurs ont proposé avec succés d'utiliser des bases d'ondelettes ou de  préondelettes ce qui permet une  compression assez importante de cette matrice, ainsi que d'obtenir de bons préconditionneurs. Avec C. Bourgeois (thèse 1999), nous avons étendu ce type de résultats au problème de la plaque polygonale libre et à l'équation de la chaleur. Dans le premier cas, il faut utiliser des espaces de Sobolev avec conditions de compatibilité aux sommets,  ce qui rend la construction d'une  base d'ondelettes  plus compliquée. Dans le deuxième cas, la difficulté principale est la caractérisation d'espaces de Sobolev anisotropes.

7. Problèmes inverses.

 Un des problèmes inverses les plus étudiés actuellement est la reconnaissance de formes par des mesures surabondantes sur le bord. Avec O. Zair (Alger), nous avons montré l'identifiabilité et des résultats de  stabilité pour la reconnaissance de fissures dans des milieux hétérogènes (modèles des milieux stratifiés, composites,....). Avec K. Ruotsalainen (Oulu) et L. Paquet, nous nous intéressons au problème de la détection d'un bord variable interne à partir d'une mesure extérieure, problème intervenant dans la fabrication de l'acier et qui modélise l'érosion du moule réfractaire due à des réactions chimiques et mécaniques.

8. Perturbations singulières et singularités.

Les problèmes de perturbations singulières conduisent généralement à des problèmes de couches limites. Dans le cas d'ouverts avec singularités coniques s'ajoutent des couches limites de coins qui tiennent  compte des singulatités du problème limite (cf. les travaux de Nazarov et Costabel-Dauge). Avec M. Bourlard, A. Maghnouji et L. Paquet, nous avons  établi ce type de résultats pour le problème de Ventcel avec petit paramètre sur une partie du bord (correspondant à une couche mince peu conductrice) et de Dirichlet sur l'autre; le problème limite étant celui de Neumann-Dirichlet.